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焉；二至之中，道齐景正，春秋分焉。日周于天，一寒一暑，四时备成，万物毕改，摄提迁次，青龙移辰，谓之岁。岁首至也，月首朔也，至朔同日谓之章，同在日首谓之蔀，蔀终六旬谓之纪，岁朔又复谓之元。是故日以实之，月以闰之，时以分之，岁以周之，章以明之，蔀以部之，纪以记之，元以原之。然后虽有变化万殊，赢肭无方，莫不结系于此而禀正焉。
臣按：自古造历者必先立元，自黄帝调历起辛卯，颛顼用乙卯，虞用戊午，夏用丙寅，殷用甲寅，周用丁巳，鲁用庚子，秦用乙卯，汉《太初》用丁丑，《三统》用庚戌，《四分》用庚辰。史谓四分历元上得庚申，有近于纬、同于纬，则或不得于天。历之废兴以疏密课，固不主于元也。夫孟子谓“天之高也，星辰之远也，苟求其故，千岁之日至可坐而致也”，朱子谓“必言日至者，造历者以上古十一月甲子朔夜半冬至为历元也”，欧阳氏亦谓历家之说虽世多不同而未始不本于此，史谓历之废兴以疏密课，盖以历之终言也，若推原其始，不本于元何所造端乎？是以黄帝以来立元虽若不同，而皆准度于甲子也。然则历乌可无元乎？但其假托以同于纤纬则不可耳。先儒有言，历元止据目前考验，无证其术，失之浅；上推开辟，冥测鸿蒙，其术近乎迂，必也用太史公三纪大备之法。范史纪元之目，推上元甲子四千五百余年，则其时不远不近矣。
蔡邕《天文志》曰：言天体者有三家，一曰周髀、二曰宣夜、三曰浑天。宣夜之学绝无师说，周髀术数具存，考验天象多所违失，故史官不用，惟浑天者近得其情，今史官所用候台铜仪则其法也。立八尺圆体之度而具天地之形，以正黄道，以察发敛，以行日月，以步五纬，精微深妙，万世不易之道也。
虞喜曰：“宣，明也；夜，幽也。幽明之数其术兼之，故曰宣夜。但绝无师说，不知其状如何。周髀之术以为天似覆盆，盖以斗极为中，中高而四边下，日月旁行绕之，日近而见之为昼，日远而不见为夜。浑天者，以为地在其中，天周其外，日月初登于天，后入于地，昼则日在地上，夜则日入地下。”
王蕃曰：“天之形状似鸟卵，天包地外，地犹卵之裹，黄圆如弹丸，故曰浑天，言其形体浑浑然也。其术以为天半覆地上、半在地下，其天居地上见者一百八十二度半强，地下亦然，北极出地上三十六度，南极入地下亦三十六度，而嵩高正当天之中极。南五十五度当嵩高之上，又其南十二度为夏至之日道，又其南二十四度为春秋分之日道，又其南二十四度为冬至之日道，南下去地三十一度而已。是夏至日北去极六十七度，春秋分去极九十一度，冬至去极一百一十五度，此其大率也。其南北极持其两端，其天与日月、星宿斜而回转。”
臣按：玑衡之象或谓起于宓羲，或为作于帝喾，或者又云乃羲和旧器，非舜创为也。马融谓上天之体不可测知天之事者惟有玑衡一事，玑衡即今之浑天仪也。王蕃之论亦谓浑仪之制，置天梁地平以定天体，为四游以缀赤道者，此谓玑也；置望筒、横箫于仪中，以窥七曜之行而知其躔离之次者，此谓衡也。若六合仪、三辰仪、四游仪并列为三重者，李淳风所作，而黄道仪者一行所增也。始张衡祖落下闳、耿寿昌之法，别为浑象，置轮密室以漏水转之，以合璇玑所加星度，则浑、象本别为一器。唐李淳风、梁令瓒祖之始与浑仪并用，宋沈括所上浑天之仪载在《宋史》者，其为论精密，有志于衍古仪象者可考也。
《唐志》曰：历法尚矣，自尧命羲和历象日月星辰，以闰月定四时成岁，其事略见于《书》，而夏、商、周以三统改正朔为历，固已不同，而其法不传。至汉，造历始以八十一分为统母，其数起于黄钟之龠，盖其法一本于律矣。其后刘歆又以《春秋》《易》象推合其数，盖傅会之说也。至唐一行始专用大衍之策，则历述又本于《易》矣。盖历起于数，数者自然之用也，其用无穷而无所不通，以之于律于《易》皆可以合也，然其要在于候天地之气以知四时寒暑，而仰察天日月星之行运以相参合而已。然四时寒暑无形而运于下，天日月星有象而见于上，二者常动而不息，一有一无，出入升降，或迟或疾，不相为谋，其久而不能无差忒者，势使之然也。故为历者其始未尝不精密，而其后多疏而不合，亦理之自然也。不合则屡变其法以求之，自尧、舜、三代以来历未尝同也，唐自《太初》至《麟德历》二十三家，与天虽近而未密也，至一行密矣。其倚数立法固无以易也，后世虽有改作者，亦依仿而已。
朱熹曰：“古人历法疏阔而差少，今历法愈密而愈差，界限愈密则差数愈远，何故？以界限愈密而逾越多也，其差则一而古今历法疏密不同，故尔看来都只是不曾推得定，只是移来辏合天之运行，所以当年合得不差，明后年便差，元不会推得天运定，只是旋将历去合那天之行，不及则添些、过则减些以合之，所以一二年又差。如唐一行《大衍历》，当时最谓精密，只一二年后便差。”
臣按：熹又谓古之历书必有一定之法而今亡矣，三代而下造历者纷纷莫有定议，愈精愈密而愈多差，繇不得古人一定之法也。嗟乎，古人一定之法不可得而见矣，得见推移增减以合天运如一行者，亦可以随时救失，而不至于界限密而逾越多矣。
《五代史》：司天掌日月星辰之象，周天一岁、四时、二十四气、七十二候，行十日、十二辰以为历，而谨察其变者以为占。占者非常之兆也，以验吉凶，以求天意，以觉人事，其术藏于有司。历者有常之数也，以推寒暑，以先天道，以勉人事，其法信于天下，术有时而用，法不可一日而差，差之毫厘则乱天人之序、乖百事之时，盖有国之所重也。后世其学一出于阴阳之家，其事则重，其学则末。夫天人之际远哉微矣，而使一艺之士布算积分，上求数千万岁之前，必得甲子朔旦夜半冬至而日月五星皆会于子，谓之上元，以为历始，盖自汉而后其说始详见于世，其源流所自止于如此，是果尧、舜、三代之法欤？皆不可得而考矣。然自是以来历家之术虽世多不同，而未始不本于此。
臣按：欧阳修谓差之毫厘则乱天人之序、乖百事之时，有国者所重在乎历，是以尧、舜之治莫不以是为先务，命官治历恒先事而为之备，惟恐其或至于差也。
《宋志》：宋兴百余年，司天数改历，其说曰：“历者岁之积，岁者月之积，月者日之积，日者分之积，又推余分置闰以定四时，非博学妙思弗能考也。夫天体之运、星辰之动未始有穷，而度以一法，是以久则差，差则敝而不可用。历之所以数改造也，物铢铢而较之至石必差，况于无形之数哉？”
臣按：自古帝王必先正历象，将以前民用、授人时也。夫圣人之治，其于天地之理、阴阳五行之运、日月星辰之纪，考验推测无有不尽，立法倚数固宜历万世而无忒，往往传之稍久其应辄差，何哉？盖天地之数其妙有不可测者，常在于秒忽毫厘之际，而其象与气推移赢缩亦有时而不齐，故虽圣智不能尽穷焉，积之岁月则历之不能无差，理固然也。圣人不能使历之无差，然尝因其差而正之，谨按先儒程氏有言：历象之法大抵主于日，日一事正则其他皆可推，落下闳之作历，言数百年后当差一日，何承天以其差遂立岁差法，其差后亦不定，独邵尧夫立差法冠绝古今，却于日月交感之际以阴阳亏盈求之，遂不差。朱子亦曰历不能无差。今之学历者但知历法不知历理，能不算者落下闳也，能推步者甘公、石公也，落下闳等但知历法，扬雄知历法又知历理。国家承用胜国之历，乃许衡、郭守敬等所订定者也，今历年逾二百矣，不能以不差，方今以经术取士，岂无能通历学如衡与守敬者乎？请于历官畴人之外，别加询访委注，必有能明历理之扬子云、善立差法之邵尧夫者出焉，以为圣朝了此一大事。
《元志》曰：明时治历，自黄帝、尧、舜与三代之盛王莫不重之，去古既远，其法不详，然原其要不过随时考验以合于天而已。汉刘歆作《三统历》，始立积年日法以为推步之准，后世因之。历唐而宋，其更元改法者凡数十家，岂故相为乖异哉？盖天有不齐之运，而历为一定之法，所以既久而不能不差，既差则不可不改也。元至元十三年平宋，诏许衡、王恂、郭守敬改治新历，乃与南北日官参考累代历法，复测候日月星辰消息运行之变，参别同异，酌取中数以为历本，十七年历成，赐名曰“授时历”。寻诏李谦为历议，发明新历顺天求合之微，考证前代人为附会之失，诚可以贻之永久，自古及今，其推验之精盖未有出于此者也。
臣按：古今历法至于元郭守敬可谓度越千古矣，参以古制，创立新法，所谓类其同而知其中，辨其异而知其变，其《授时历》虽汉《太初》、唐《大衍》皆莫有过焉者也。其所以度越前人者非虚言也，盖以今历与古历相较比而其疏密自见也，其说曰：“上能合于数百载之前，则下可以行之永久，此前人定说，古称善治历者若宋何承天、隋刘焯、唐傅仁均、僧一行之流最为杰出，今以其历与至元庚辰冬至气应相较，未有不舛戾者，而以新历上推往古无不吻合。”又曰：“自春秋献公以来凡二千一百六十余年，用《大衍》《宣明》《纪元》《统天》《大明》《授时》六历推算，冬至凡四十九事，《大衍历》合者三十二、不合者十七，《宣明历》合者二十六、不合者二十三，《纪元历》合者三十五、不合者十四，《统天历》合者三十八、不合者十一，《大明历》合者三十四、不合者十五，《授时历》合者三十九、不合者十事，以前代诸历校之，《授时》为密。”嗟乎，数往所以知来，考古所以验今，今《授时历》上而求之千载之前既无不合，则下而推之千载之下其必不忒可知矣。虽然天时不齐，不齐则不能以皆同，不同而更元立法以同之，随时考验以合于天，不能无望于今日之许平仲、郭守敬焉。然则更元立法、随时考验，果何从而致力耶？杜预曰“治历者当顺天以求合，非为合以验天”，蔡邕曰“以筹算为本，以天文为验，算之既积，验之皆合，则在人之天审而在天之天定矣。”
以上历象之法。臣按：洪武中，刻漏博士元统言：“一代之兴必有一代之历，随时修改以合天道。我朝承运以来，历虽以《大统》为名，而积分犹《授时》之数。《授时》历法以元至元辛巳为历元，至今洪武甲子积一百四年，以历法推之得三亿七千六百一十九万九千七百七十五分经，云大约七十年而差一度，每岁差一分五十秒。辛巳至今，年远数盈，渐差天度，拟合修改。”今以洪武甲子岁前冬至为《大统》历元，推演得《授时历》辛巳闰准分二十万二千五十分，洪武甲子闰准分一十八万二千七十分一十八秒；《授时历》气准分五十五万六百分，洪武甲子气准分五十五万三百七十五分；《授时历》辛巳转准分一十三万二百五分，洪武甲子转准分二十万九千六百九十分；《授时历》辛巳交准分二十六万三百八十八分，洪武甲子交准分一十一万五千一百五分八秒。当元统上言时岁在甲子也，已云“年远数盈，渐差天度”，矧今又历一甲子而过其半，其年愈远，其数愈多，其所差者当益甚也。臣愚以为，历者国家之大事，所以膺在躬之数、承上天之托，以敬天道、以授人时者，端有在于此。臣请诏求天下通星历之学如郭守敬者以任考验之，责明天人之理如许衡者以任讲究之，方失今不为后愈差舛，伏惟圣明留神听察。臣于历数之学素无师传，谨述经史所载言及历象之理者以为明时献，若夫推步占验之法，具见诸书，兹不复赘。
以上历象之法（下）