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分，为分者一万六千二百；一合积一寸六分二厘，为分者一千六百二十，则黄钟之龠为八百一十分明矣。空围八百一十分，则长累九十黍，广容一千二百黍矣。盖十其广之分以为长，十一其长之分以为广，自然之数也。”
臣按：朱熹《律吕新书》序所谓“黄钟围径之数，则汉斛积分可考”者此也。《新书》之首章“律吕本原”论黄钟曰：“长九寸，空围九分，积八百一十分。盖天地之数始于一、终于十，其一、三、五、七、九为阳，九者阳之成也；其二、四、六、八、十为阴，十者阴之成也。黄钟者阳声之始，阳气之动也，故其数九。分寸之数具于声气之元，不可得而见，及断竹为管，吹之而声和，候之而气应，而后数始形焉。均其长得九寸，审其围得九分，积其实得八百一十分，长九寸、围九分，积八百一十分，是为德本度量权衡，于是而受法，十一律由是而损益焉。”吁，自汉以来钟律之议纷纷靡定，蔡氏兹书一出而千古之论灼然不疑，所谓“断竹为管，吹之而声和，候之而气应，而后数始形焉”，此数言者真诚作乐定律之本也。
《淮南子》曰：规始于一，一不生，故分而为阴阳，阴阳合和而万物生，故曰一生二，二生三，三生万物。三参物，三三如九，故黄钟之九寸而宫音调，因而九之，九九八十一，故黄钟之数立。律之数六，分为雌雄，故曰十二钟，以副十二月，十二各以三成，故置一而十一三之，为积分十七万七千一百四十七，黄钟大数立焉。
太史公曰：置一而九，三之以为法，实如法得长一寸，凡得九寸，命曰黄钟之律。
《前汉志》曰：太极元气，函三为一。极，中也。元，始也。行于十二辰，始动于子，参之于丑得三，又参之于寅得九，又参之于卯得二十七，又参之于辰得八十一，又参之于巳得二百四十三，又参之于午得七百二十九，又参之于未得二千一百八十七，又参之于申得六千五百六十一，又参之于酉得万九千六百八十三，又参之于戌得五万九千四百四十九，又参之于亥得十七万七千一百四十七，此阴阳合德，气钟于子，化生万物者也。
蔡元定曰：“《淮南子》谓‘置一而十一三之，以为黄钟之大数’，即《律书》‘置一而九，三之以为寸法’者，其术一也。夫置一而九，三之既为寸法，则七三之为分法，五三之为厘法，三三之为毫法，一三之为丝法，从可知矣。《律书》独举寸法者，盖已于生钟，分内默具律，寸、分、厘、毫、丝之法而又于此律数之下，指其大者以明凡例也。一三之而得三，三三之而得二十七，五三之而得二百四十三，七三之而得二千一百八十七，九三之而得一万九千六百八十三。故一万九千六百八十三以九分之则为二千一百八十七，二千一百八十七以九分之则为二百四十三，二百四十三以九分之则为二十七，二十七以九分之则为三。三者丝法也；九其三得二十七，则毫法也；九其二十七得二百四十三，则厘法也；九其二百四十三得二千一百八十七，则分法也；九其二千一百八十七得一万九千六百八十三，则寸法也。一寸九分，一分九厘，一厘九毫，一毫九丝，以之生十二律，以之生五声二变，上下乘除，参同契合，无所不通，盖数之自然也。”
司马贞《史记索隐》注：黄钟八寸十分一，云律九九八十一，故云八寸十分一。
臣按：此即朱熹所谓“寸以九分为法，淮南、太史、小司马之法可推”者此也。元定之言曰：“黄钟九寸，以三分为损益，故以三历十二辰得一十七万七千一百四十七，为黄钟之实。其十二辰所得之数，在子、寅、辰、午、申、戍六阳辰为黄钟寸、分、厘、毫、丝之数，在亥酉未巳卯丑六阴辰为黄钟寸、分、厘、毫、丝之法，其寸、分、厘、毫、丝之法皆用九数，故九丝为毫，九毫为厘，九厘为分，九分为寸，为黄钟。盖黄钟之实一十七万七千一百四十七之数，以三约之，为丝者五万九千四十九；以二十七约之，为毫者六千五百六十一；以二百四十三约之，为厘者七百二十九；以二千一百八十七约之，为分者八十一；以一万九千六百八十三约之，为寸者九，由是三分损益以生十一律焉。”蔡氏所谓黄钟之实者如此，或者以谓算到十七万七千一百四十七之数何所用之？朱熹曰：“以定管之长短而出是声，考究其法当如是也。”
杜佑《通典》曰：十二律相生之法自黄钟始，三分损益下生林钟，林钟上生太蔟，太蔟下生南吕，南吕上生姑洗，姑洗下生应钟，应钟上生蕤宾，蕤宾上生大吕，大吕下生夷则，夷则上生夹钟，夹钟下生无射，无射上生中吕，此谓十二律长短相生，一终于仲吕之法。又制十二钟以准十二律之正声，又凫氏为钟以律计，自倍半，以子声比正声则正声为倍，以正声比子声则子声为半。但先儒释用倍声有二义，一义云半十二律正律为十二子声之钟，二义云从于仲吕之管寸数，以三分益一上生黄钟，以所得管之寸数然后半之以为子声之钟。其为变正声之法者，以黄钟之管正声九寸，子声则四寸半。又上下相生之法者，以仲吕之管长六寸一万九千六百八十三分寸之万二千九百七十四，上生黄钟，三分益一，得八寸五万九千零四十九分寸之五万一千八百九十六，半之得四寸五万九千零四十九分寸之二万五千九百四十八，以为黄钟，又上下相生以至仲吕，皆以相生所得之律寸数之半以为子声之律。
蔡元定曰：“此说黄钟九寸生十一律有十二子声，所谓正律，正半律也。又自仲吕上生黄钟，黄钟八寸五万九千□□四十九分寸之五万一千八百九十六，又生十一律，亦有十二子声，即所谓变律、变半律也。正、变及半凡四十八声，上下相生，最得《汉志》所谓黄钟不复为他律役之意，与《律书》五声大小次第之法。但变律止于应钟，虽设而无所用，则其实三十六声而已，其间阳律不用变声而黄钟又不用正半声，阴吕不用正半声而应钟又不用变半声，其实又二十八声而已。”
臣按：朱熹所谓“变律半声之例，杜氏《通典》具焉”者，此也。元定之言曰：“律吕之数，往而不返，故黄钟不复为他律役，所用七声皆正律，无空积忽微。自林钟而下则有半声，自蕤宾而下则有变律，皆有空积忽微，不得其正。故黄钟独为声气之元，虽十二律八十四声皆黄钟所生。然黄钟一均，所谓纯粹中之纯粹者也。”八十四声，正律六十三、变律二十一，六十三者九七之数也，二十一者三七之数也，所引“黄钟不复与他律为役”者，盖以黄钟至尊无与为并，惟于本宫用正律，若他律为宫，则黄钟之为商、角、征、羽、二变者皆但用其变律，而正律不复与之为役也。
《通典》注曰：按应钟为变宫，蕤宾为变征，自殷以前但有五音，自周以来加文、武二声谓之七声，五声为正，二声为变，变者和也。
蔡元定曰：“宫与商、商与角、征与羽相去皆一律，角与征、羽与宫相去独二律，一律则近而和，二律则远而不相及，故宫、羽之间有变宫，角、征之间有变征，此亦出于自然，《左氏》所谓七音、《前志》所谓七始是也。然五声者正声，故以起调毕曲，为诸声之纲，至二变声则宫不成宫、征不成征，不比于正音，但可以济五声之所不及而已，然有五声而无二变亦不可以成乐也。”
臣按：此亦朱熹所谓“五声二变之数，杜氏《通典》具焉”者也。元定之言曰：“五声宫与商、商与角、征与羽相去各一律，至角与征、羽与宫相去乃二律，相去一律则音节和，相去二律则音节远。故角、征之间近征，收一声比征少下，故谓之变征；羽、宫之间近宫，收一声少高于宫，故谓之变宫也。角声之实六十有四，以三分之不尽一算，既不可行，当有以通之，声之变者二，故置一而两，三之得九，以九因角声之实六十有四，得五百七十六，三分损益再生变征、变宫二声，以九归之以从五声之数，存其余数以为强弱。至变征之数五百一十二，以三分之又不尽二算，其数又不行，此变声所以止于二也。变宫、变征，宫不成宫，征不成征，古人谓之和缪，又曰所以济五声之不及也，变声非正，故不为调也。其所谓和缪者，《淮南子》曰姑洗生应钟，比于正音，故谓和；应仲生蕤宾，不比于正音，故为缪。”
孔颖达《礼疏》曰：黄钟为第一宫，下生林钟为征，上生太簇为商，下生南吕为羽，上生姑洗为角；林钟为第二宫，上生太簇为征，下生南吕为商，上生姑洗为羽，下生应钟为角；太簇为第三宫，下生南吕为征，上生姑洗为商，下生应钟为羽，上生蕤宾为角；南吕为第四宫，上生姑洗为征，下生应钟为商，上生蕤宾为羽，上生大吕为角；姑洗为第五宫，下生应钟为征，上生蕤宾为商，上生大吕为羽，下生夷则为角；应钟为第六宫，上生蕤宾为征，上生大吕为商，下生夷则为羽，上生夹钟为角；蕤宾为第七宫，上生大吕为征，下生夷则为商，上生夹钟为羽，下生无射为角；大吕为第八宫，下生夷则为征，上生夹钟为商，下生无射为羽，上生仲吕为角；夷则为第九宫，上生夹钟为征，下生无射为商，上生仲吕为羽，上生黄钟为角；夹钟为第十宫，下生无射为征，上生仲吕为商，上生黄钟为羽，下生林钟为角；无射为第十一宫，上生仲吕为征，上生黄钟为商，下生林钟为羽，上生太簇为角；仲吕为第十二宫，上生黄钟为征，下生林钟为商，上生太簇为羽，下生南吕为角。是十二宫各有五声，凡六十声。
蔡元定曰：“声者所以起调毕曲，为诸声之纲领，《礼运》所谓还相为宫，所以始于黄钟，终于南吕也。后世以变宫、变征参而八十四调，其亦不考矣。”
臣按：朱熹所谓“变宫、变征之不得为调，则孔氏之《礼疏》因亦可见”者，此也。盖五声十二律旋相为宫止于六十，而后世乃参之以变宫、变征为八十四调，非古矣。
以上论乐律之制（中）