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要获悉数学家对连续统（continuum）任何理解，人们不应询问几何学。几何学家总是企图或多或少地想象他所研究的图形，但是他的表象在他看来仅仅是一种工具；在创造几何学时，他要利用空间，正如他用粉笔画图一样；对非本质的东西不应当赋予过多的权重，其重要性往往并不比粉笔的白色更多一些。
纯粹的解析家并不害怕这一危险。他使数学科学脱离所有无关的元素，而且他能够回答我们的问题：“严格地说来，数学家就其进行推理的这个连续统是什么呢？”许多对他们的技艺进行沉思的解析家已经做出了回答；例如，塔纳里（Tannery）先生在他的《单变函数论导论》一书中就这样作了。
让我们从整数的标度开始；在两个连续步骤之间插入一个或多个中间步骤，然后在这些新步骤中再插入其他步骤，如此类推，以至无穷。这些步骤将是所谓的分数、有理数或可通约数。但是，这还不够；无论如何，在这些已经是无限个数的项之间，还必须插入称之为无理数或不可通约数的其他数。在更进一步之前，我们要评论一下。如此设想的连续统，只不过是按某种顺序排列起来的、在数目上无限的个体的集合物，它虽则为真、但却是相互外在的。这不是通常的概念，其中假定，在连续统的元素之间，存在着一类使它们成为整体的密切的结合物，在那里，点不是在线之先，而是线在点之先。从“连续统是相重数（multiplicity）的单位（unity）”这一受人称颂的公式中，只保留着多样性（multiplicity），统一性（unity）却消失了。解析家在像他们所作的那样定义连续统时，他们仍然是正确的，因为只要他们夸耀他们的严格性，他们总是正好以此公式推理的。这足以告诉我们，真正的数学连续统是与物理学家的连续统和形而上学家的连续统大相径庭的东西。
也许可以说，满足于这个定义的数学家受到词的愚弄，为了解释这些中间步骤如何被插入，为了证明这样做是可能的，就必须精确地讲出每一个中间步骤的是什么。但是，那就错了；在他们的推理 [1] 中所运用的这些步骤的唯一特性是在如此这般的步骤之前或之后存在的特性；因此，也唯有这一特性应当出现在定义中。
这样看来，中间项应该如何插入不需要我们涉及；另一方面，没有一个人会怀疑这种操作的可能性，除非他忘记了，在几何学家的语言中，可能的仅仅意味着无矛盾。
不管怎样，我们的定义还不完备，我将在这段冗长的题外话之后再谈及它。
不可通约数的定义。柏林学派的数学家，尤其是克罗内克（Kronecker），不用整数以外的任何材料，致力于构造分数和无理数的这一连续标度。照此看来，数学连续统也许是心智的纯粹创造，经验大概并未参与其中。
有理数概念对他们来说似乎没有困难，他们主要力求定义不可通约数。可是，在这里介绍他们的定义之前，我必须议论一下，以抢先保证不引起那些不熟悉几何学家习惯的读者的惊奇。
数学家研究的不是客体，而是客体之间的关系；因此，只要关系不变，这些客体被其他客体代换对他们来说是无关紧要的。在他们看来，内容（matter）是不重要的，他们感兴趣的只是形式。
不想到这一点，就无法理解戴德金（Dedekind）竟然会把纯粹的符号称为不可通约数，也就是说，这种数完全不同于应当是可度量的并且几乎是可触知的量的普通观念。
现在，让我们看看戴德金的定义是什么：
可通约数能够以无穷方式分为两类，以致第一类中的任何数都大于第二类中的任何数。
也可能会出现这种情况：在第一类数中，有一个数小于所有其他数；例如，如果我们把所有大于2的数和2本身排在第一类，把所有小于2的数排在第二类，那么很清楚，2将是第一类所有数中最小的。数2可以选来作为这种分类的符号。
相反地，也可能会出现下述情况：在第二类数中，有一个数大于所有其他数；例如，如果把所有大于2的数排在第一类，把所有小于2的数和2本身排入第二类，情况就是这样。在这里，数2再次可以选作分类的符号。
但是，同样完全可以发生下述情况：在第一类中既不存在小于所有其他数的数，在第二类中也不存在大于所有其他数的数。例如，假定我们把其平方大于2的所有可通约数放入第一类，把其平方小于2的所有可通约数放入第二类。这里没有其平方恰恰是2的数。显然，在第一类中没有小于所有其他数的数，因为不管一个数的平方多么接近2，我们总是能够找到一个可通约数，其平方更接近于2。
按照戴德金的观点，不可通约数
或
无非是把可通约数分开的这一特殊式样的符号；于是，对于每一种分开的式样，对应着一个可通约数或不可通约数作为它的符号。 可是，满足这一点也许未免过于轻视这些符号的来源了；依然要说明，我们如何被导致把一种具体的存在赋予它们，此外，甚至对于分数本身来说，一开始不就存在着困难吗？如果我们预先不了解我们认为是无限可分的内容即连续统，我们会有这些数的概念吗？
物理连续统。我们于是问自己，数学连续统的概念是否只是从经验而来。如果是，那么经验的粗糙材料————这就是我们的感觉————也许容许度量。我们可能被诱使认为，它们实际上就是如此，由于最近有人企图去测量它们，甚至提出了一个通称费希纳（Fechner）定律的规律，按照这个定律，感觉与刺激的对数成正比。
然而，如果我们较为仔细审查一下曾经试图建立这个定律的实验，我们将会得出截然相反的结论。例如，人们观察到，10克的重物A和11克的重物B产生相同的感觉，重物B与12克的重物C同样无法区分，但是重物A却很容易与重物C区别开来。于是，经验的粗糙结果可以用下述关系来表示：
A＝B，B＝C，A＜C，
可以把这些关系视为物理连续统的公式。 可是，这里存在着与矛盾律无法容忍的背离，消除这一背离的需要迫使我们发明数学连续统。
因此，我们不能不得出结论：这一概念完全是由心智创造的，但是经验为它提供了机会。
我们无法相信，等于第三个量的两个量彼此不相等，以致我们可以假定，尽管A不同于B，B不同于C，但是由于我们的感官不完善，不容许我们区别它们。
数学连续统的创造。第一阶段。迄今为止，为了说明事实起见，只要在A和B之间插入几项就足够了，这几项依然是离散的。如果我们求助于某些工具以弥补我们感官的软弱无力，例如我们使用显微镜，那么现在会发生什么情况呢？像以前不可区别的A和B项，现在也似乎可以区分了；可是，在现在变得可区分的A和B之间再插入一个新项D，则我们既不能把它与A区别开来，也不能把它与B区别开来。除非使用最完善的方法，我们经验的粗糙结果将总是呈现具有内在矛盾的物理连续统的特征。
只有在已经区分开来的项中连续不断地插入新项，我们才能摆脱它，而且这一操作必须无限期地进行。如果我们能够想象某种威力充分强大的工具，足以把物理连续统分解为离散的元素，就像望远镜把银河分解为恒星那样，我们就可以设想中止这种操作。但是，我们不能想象这一点；事实上，我们正是用眼睛观察显微镜放大了的图像的，因此这个图像必然总是包含着视觉的特征，从而包含着物理连续统的特征。
直接观察到的长度和用显微镜放大一倍的这一长度之半无法区分。整体与部分是齐性的；这是一个新的矛盾，或者确切地讲，如果假定项数是有限的才是这样的；事实上，很清楚，包含比整体少的项的部分不可能相似于整体。
当项数被认为是无限时，矛盾就不存在了；例如，没有什么东西妨碍人们认为整数的集合相似于偶数的集合，虽则偶数只不过是整数的一部分；事实上，每一个整数都对应着一个偶数，即对应着整数的倍数。
但是，心智被引导创造出用无限数目的项形成的连续统的概念，这并不仅仅是为了避免包含在经验材料中的这种矛盾。
一切都像在整数序列中发生的一样。我们有能力设想，一个单位能够加到多个单位的集合中；多亏经验，我们才有机会训练这种能力，我们逐渐意识到它；可是，从这时起，我们感到我们的能力没有限度，我们能够无限期地数下去，尽管我们从来还没有数过多于一个有限数目的对象。
同样地，只要我们被诱使在一个级数的两个相继项之间插入中间项，我们便发觉，这种操作能够超越所有限度而继续下去，也就是说，没有停止的固有理由。
为简便起见，让我把按照与可通约数的标度相同的规则形成的项的每一个集合称为一阶数学连续统。如果我们进而按照形成不可通约数的规律插入新的步骤，我们将会得到我们所谓的二阶连续统。
第二阶段。迄今，我们仅仅是迈出了第一步；我们说明了一阶连续统的起源；但是，有必要看到，为什么甚至连它们也不是充分的，为什么必须发明不可通约数。
如果我们试图想象一条线，那么它必须具有物理连续统的特征，也就是说，除非具有某一宽度，否则我们将无法描绘它。于是，两条线在我们看来似乎形成了两条狭带，如果我们满足于这种粗糙的图像，那么显而易见，若两线相交，则它们将拥有公共部分。
可是，纯粹几何学家却做出进一步的努力；他完全放弃了感官的帮助，试图达到没有宽度的线的概念、没有广延的点的概念。他只有把线视为不断变窄的带子的极限，把点视为不断缩小的面积的极限，才能够得到这个概念。其次，不管我们的两条相交的带子多么窄，它们总有公共的面积，带子越窄，面积越小，它们的极限将是纯粹几何学家所谓的点。
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